今日的積分學源自17世紀兩位數學家的爭辯，他們背後的動機究竟是數學還是宗教呢？

無數學生都學過微積分，也就是把物體分割成許多等分再加總起來，以求得長度、面積或體積，屬於數學的一門分支，但是很少人知道，他們的微積分作業有一些源自17世紀兩位學者之間的爭辯。在1635年，義大利數學家卡瓦列里（Bonaventura Cavalieri）宣稱，任何平面是由無窮多個平行線構成，而任何立體則由無窮多個平面組成。他的「不可分量法」（method of indivisibles）曾經遭受瑞士數學家古爾丁（Paul Guldin）因經驗理由而抨擊，但是後來仍保存下來，成為了微積分的先驅。美國加州大學洛杉磯分校的亞歷山大發現，這場爭辯的背後藏有更多的個人動機。本文摘錄自亞歷山大的最新著作，他指出卡瓦列里和古爾丁分屬不同的天主教會，兩人對於如何透過數學來理解現實的本質，意見有所分歧。

古爾丁在1641年出版的著作《重心》（De Centro Gravitatis，亦稱Centrobaryca）的第四卷內，詳細批判了卡瓦列里的不可分量法。古爾丁認為，古典數學家無法接受卡瓦列里的證明，因為那不是構造性證明（constructive proof）。這樣的說法確實沒錯，在傳統的歐氏幾何裡，幾何圖形是一步接一步，從簡單到複雜，只藉由直尺畫線和圓規畫圓建構起來。在證明圖形的每個步驟裡，都必須具有這種建構性，再加上邏輯演繹，才能得到最後的圖形。然而卡瓦列里卻反其道而行，他從拋物線、螺線等已經畫出的幾何圖形開始，然後把它們分割成無窮多的等分。這種方法或許可以稱為「解構」，而不是「建構」，其目的並非建立合乎邏輯的幾何圖形，而是拆解既有圖形的內部結構。

古爾丁接著攻擊卡瓦列里方法的基本原則，也就是平面由無窮多個平行線構成、立體由無窮多個平面組成的這種概念。古爾丁堅稱這種概念簡直是胡說八道，他說：「沒有幾何學家會認同他的平面概念，更不可能以『圖形裡的所有直線』這種幾何語言來稱呼平面。」

換句話說，因為線條沒有寬度，即便數量再多的線條並排在一起，也無法構成最小的平面。因此卡瓦列里透過圖形中「所有線條」來計算平面面積，顯得很荒謬。古爾丁接著說出他的觀點：卡瓦列里的方法是，以某個圖形的所有線條與另一個圖形的所有線條之間的比例來計算。但古爾丁堅稱，兩個圖形的線條都無窮多，兩個無窮之間的比例並無意義。無窮多個不可分量不論乘以幾次，都不可能超過另一組無窮多個不可分量。

宗教介入？

古爾丁批評卡瓦列里方法的所有論述，具體展現出當時耶穌會（Jesuit）數學的核心原則。耶穌會數學的傳統創始者克拉維烏斯（Christopher Clavius）與信徒深信，從簡單的公設到更複雜的定理，數學推演都必須具有系統並符合邏輯演繹，以描寫圖形之間的普遍關係，構造性證明正是這種理想的具體表現。這種方法能產生嚴謹、有階層的數學邏輯，對耶穌會而言，這正是人們為何研究這個領域的主因。這種方法能透過系統化的演繹，顯現出抽象原則如何建構出固定且理性的世界，其中的真理是萬物適用而不可挑戰的。對此，克拉維烏斯指出，歐氏幾何要比其他任何科學更接近耶穌會嚴謹、階層和秩序的理想。由此可知，古爾丁並非如卡瓦列里和他的朋友所認為，是因為迂腐或心胸狹隘而緊抱著構造性證明不放，他不過是表現出自己對所屬教派的堅定。

古爾丁對於卡瓦列里方法基本原則的批評，也是如此。數學不僅必須具有階層、構造性，還必須完全理性、不能有所矛盾。但古爾丁指出，卡瓦列里不可分量中最核心的概念是條理不清的，因為把連續體視為不可分量的組合這種概念是禁不起理性的考驗。他喝斥：「不存在的事物，就是不可能存在，無法拿來互相比較，也難怪會造成矛盾和不一致，最後導致錯誤。」

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翻譯／王怡文

你相信自由意志嗎？如果人們普遍認為擁有自由意志只是錯覺，這個社會將會變成什麼樣子？

2008年7月，退休的英國鋼鐵工人湯瑪斯（Brian Thomas）與妻子克莉絲汀開著露營車到威爾斯海邊的一個小村子。由於附近一群人騎摩托車練特技的聲音太過吵雜，他們便轉移陣地到附近一家旅館的停車場。當晚，湯瑪斯夢到其中一名騎士闖入露營車，睡夢中他把妻子當做是那個騎士，而把她勒死了。

次年，陪審團必須決定是否判湯瑪斯謀殺罪。陪審團得知他從小就有夢遊的毛病，一位精神科醫師解釋，湯瑪斯勒住妻子時，並不知道自己在做什麼，他不是有意識地攻擊她。於是湯瑪斯獲判無罪。

這類案例不禁令人思考，「自由意志」（free will）的意義是什麼？在夢遊時，大腦顯然可以在意識不完全的狀況下，指揮人們行動。最近越來越多哲學家和神經科學家基於目前對人腦的了解，主張所有的人其實一直處於某種夢遊狀態。我們不是主動創造生活，而只是單純受過去事件以及察覺不到的潛意識機制所擺佈。即使在我們十分清醒時，自由意志也不過是錯覺罷了！

採取這種觀點的哲學家主張，所有生物都是受宇宙的物理定律所約束，每個行為都是之前事件的後果。人類也是生物，因此人類的行為是由我們完全無法掌控的一連串複雜因果關係所造成。宇宙根本不容許自由意志存在，最近的神經科學研究更強化了這種看法，顯示有意識地做選擇的行為，是神經在背後運作的結果，而非行為本身的成因。大腦不需經由「我們的意識」參與，就決定了我們所做的一切──我們只是「感覺」好像有參與決策。

當然，不是每個人都認同這種看法，自由意志是否存在的爭論也持續發燒。然而，我們（本文兩位作者）對相關且同樣重要的問題產生了興趣：不管合不合理，如果人們對自由意志的信念動搖了，會發生什麼事？一個不再有自由意志，或者說，不再相信自由意志的社會，會是什麼樣子？我們對此議題的研究提供了線索來找答案，其中有些線索令人憂心，尤其是我們看到跡象顯示，缺乏自由意志的信念可能造成社會結構分崩離析。

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透過腦造影工具，科學家終於找到偵測植物人是否有意識以及與其溝通的方法，對這個如迷霧般的腦科學議題，如今我們的了解又更進一步。

我從事無行為反應病人的意識狀態研究，可以追溯到1997年第一次見到凱特的那一刻。她是來自英國劍橋的年輕教師，在一次類似感冒的症狀後陷入昏迷。在幾個星期內，她的醫生就宣佈她是植物人，更精確地說，她仍有睡眠週期，不過卻沒有知覺意識。她的眼睛會閉闔，而且她也似乎會短暫快速地張望醫院病房的四周，但是，她卻沒有顯示出一點心理思考的跡象，對於家人和醫師的刺激及鼓勵，她也沒有任何反應。

當時我正在英國劍橋大學測試新的腦造影方法，我的同事、急性腦傷研究專家曼能（David Menon）建議我們用正子斷層掃描（PET）來看看能否偵測到她腦中任何認知活動的跡象。雖然機會渺茫，但是我們認為有些新的腦造影技術或許有可能成功。當凱特在腦造影機器裡接受掃描時，我們在她眼前的電腦螢幕上閃過許多她朋友及家人的照片，並在她腦中尋找活動跡象，結果非常驚人。她的大腦不只對臉孔有反應，其活動型態還跟一般健康的人在看到親人臉孔的反應十分相似。

這代表什麼意思呢？凱特難道有意識，只是外表看不出來？還是說，這只是某種反射反應？在我們知道如何回答這個問題之前，我們可能得先花上10年去研究並改善方法才行。

找出答案的需求越來越迫切。由於近年來在創傷照護、急救處理以及重症醫學上的進步，像凱特這樣嚴重腦傷後存活的病人越來越多，他們活著，卻沒有任何醫學證據顯示他們有意識，這種病人幾乎在每個擁有良好護理設備的城鎮醫院中都可以找到。決定該給他們多少照護和治療、多少生命輔助設備、如何權衡家人的希望與病人的預先醫療指示（如果有的話），這些都是令人苦惱且常涉及官司的棘手道德問題。有些病人會恢復至某種程度，但是，哪些人會恢復、又恢復到何種程度，則很難預測。有些病人會進入最小意識狀態，表現出一些不一致但卻可重複出現的意識特徵（見右頁〈迷失在灰色地帶〉）。有些病人則會維持植物人的狀態，直到死亡，而這段時間有時會長達數十年。如果可以區分植物人不同的狀態，將可以為病人做出最佳醫療決定。

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左擋右撲，PK勝負全在「輸贏一念」間？科學家有時候看到某一「點」有趣的現象，也會求勝心切去追逐那一點行為特徵，熱情有餘，卻考慮不周，而編輯也會因現象太吸睛了，以致把關不嚴。

「昨晚你起來看了嗎？」

這是最近大部份朋友之間的問候語，而且只要看到對方睡眼惺忪、眼白泛紅的模樣，就知道他和我一樣，都是世界盃足球錦標賽的狂熱球迷。半夜一點鐘，起來看一場，三點鐘接著看下一場，熱茶一壺，咖啡續杯又酗杯，徹夜未眠，眼睛追逐電視畫面上黑白相間的足球，看兩支球隊你來我往，射球進網，Goal聲差點震破電視螢幕。我家沒電視，只能透過網路上即時實況轉播觀賞，我也跟著興奮一番。雖然競賽的球隊中，沒有我們國家的隊伍，確實有些遺憾，但無論如何，看世界一流選手攻防有序，好不容易才踢進或頂進一球的精采畫面，真是過癮！尤其看到自己喜歡的球隊進球的瞬間，血液衝進大腦的狂喜，那是難以形容的自我滿足；若被對方一足或一頭破網，心中的沮喪則是有口難言。

在這期待世足大賽的四年之中，科學家也沒有沉默，各類相關的研究很多，如何訓練專注力？如何去除臨場緊張的壓力？如何增強團隊的默契？如何加速體力復原和傷後復健？其中最值得注意的是2011年荷蘭阿姆斯特丹大學一群心理學家所做的研究，得到了有趣的結果，也提出一個和腦部活動有關的論點。他們計算從1982年到2010年世界盃大賽中十二碼罰球（penalty kick，所謂PK）的次數，一共204次。在這204次中，有一個現象很好玩，即在球隊比分落後時，同隊的守門員在面對PK的瞬間，都有一個過份傾向右撲動作的「偏好」，這個比例是70.8%，和球隊贏球時的46.3%以及平手時的49%，達到統計上的顯著差異。他們的解釋是當門將感到球隊要輸了的時候，就會引起正向動機（approach motivation），而正向動機會激發左腦半球的活動量，就連動了右半身向右撲的傾向。研究者由此認為，右撲的偏向是門將太過於「求勝心切」的病態適應！

這篇研究報告登在權威的《心理科學》（Psychological Science）期刊上，引起關心世界盃的媒體大肆報導，並提醒教練要注意矯正這種偏好。但仔細想想，這個研究結果是有問題的。首先，204次PK樣本的代表性可能不夠，還有其他（歐洲、非洲、亞洲等各足球協會）的資料庫也應該用來做為驗證的參考。其次，這個論點只強調門將本身的生理運作，沒有考量踢罰球的人大部份是右腳踢球，踢向門將右邊是很平常的；門將不過是在應付罰球者右腳踢球的偏向，這是常態適應，而非病態適應。第三，這個研究提出左腦半球的假想，卻沒有一點腦活動的影像來佐證，結論流於臆測，沒有實質的意義。我一直不很贊同這樣把虛無的腦的聯想，無端端套在行為的觀察上。

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