《從生活 學數學》
 數學就在你身邊大家都認為數學很重要，可是也害怕數學，甚至常常質疑為什麼要學那麼多生活中用不到的數學！真的是這樣嗎？曹亮吉老師的《從生活 學數學》，以「學、說、算、變、看、想」為題，用實際的例子，帶你從路標、世足賽、氣象報告、藝術裡，認識你身邊的數學。……《進來看看這本書》

 學什麼、怎麼學

曹亮吉

　--學什麼、怎麼學

    一般人學數學到底要學什麼呢？從實用的觀點來看，答案是學會算術計算，及一點點的幾何與代數。在考試至上的氣氛薰陶之下，答案是背誦及套用公式，做各種（複雜）的計算。近年來，想法漸有改變，認為學會尋求數與形的規律及過程，是學習數學的主要目的。

    從「尋求數與形的規律」，可往兩個方向延伸。規律是規則與定律，是嚴格的，無例外的。然而通性、風格、式樣、花樣、大要、樣式、形態、圖樣、結構、特色、模式等等，多多少少有規律可尋，可視為廣義的規律，其實也可以是學數學所要學的。廣義的規律，我們稱之為「胚騰」。

    另一方面，天地之間的萬事萬物，莫不隱藏有數與形，及數與形的胚騰。把學習數學的眼界，從純粹的數與形，以及狹義的規則與定律，提升到隱藏於萬事萬物中的數與形，以及廣義的規則與定律──胚騰，數學不再是枯燥抽象的，不再是似乎很有用、但不知用在哪裡的東西。

    擴大視野是否要伴隨著艱深的數學技術？一般而言，國中小的數學技術，就能勝任視野的適度擴大，所需要的是學習的方法。我們要從實際的生活，或其他學習領域中取材，來探討其中的數與形，研究其中的胚騰。我們要培養能力，能夠察覺情境中的數學問題，能夠把察覺到的轉化成真正的數學問題。在解了數學問題之後，還要能回到實際的情境，評析解題的結果是否回答了原來的問題，是否能有進一步的推展。我們也要有能力，把整個過程重點摘錄，以便自我溝通，同時也要能與別人溝通與分享。

    經過察覺、轉化、解題、溝通及評析等種種步驟，把數學和生活以及其他學習領域連結在一起，數學才能變成具體而有用。新實施的九年一貫國中小數學課程強調的一個重點，就是數學的連結。

0.1　人是尋求規律的動物

    人是尋求規律的動物，從語文及數數目發展的過程就可看出端倪。

    語文要是沒有規律，彼此無法溝通，就不成為語文。語文的規律大致有兩個層次。一個是大體的結構，譬如字序，中文的「狗咬我」和「我咬狗」，意義完全不同，而日文要把「狗咬我」說成「我（被）狗咬（了）」。又譬如，必要時，時間、空間要講清楚，否則不知道你講的是何時何地的事。另一個層次是較細緻的變化，譬如英文動詞過去式的語尾變化，中文因類而不同的各種數量詞用法（個、隻、顆、粒……）。

    小孩子學語文，結構層次的規律很快就掌握得差不多，細緻變化的那一層次則會引起一些學習的困擾，因為規律大致是有的，但不清楚或例外的地方也不少。
譬如英文的過去式，大致來說是用「動詞加ed」的形式，這是規律。但不規則動詞也不在少數。以英文為母語開始學話的小孩子，受環境的影響，知道go的過去式為went；不過學得愈來愈多的規則動詞之後，有一段時間會不自覺把go的過去式說成goed。經過父母老師的糾正，他才知道動詞有規則的，也有不規則的，於是捨棄goed，重新又說went。

    人類在發展語文的過程中，體認到現在與過去需要有所區別，於是英文就用不同的字代表現在與過去，所以一些常用動詞都是不規則的。不規則動詞一多，使用就不方便，於是發展了以ed代表過去的規律。不過，已經有的不規則動詞早已成了文化的一部分，只好任其不規則。然而，人到底是尋求規律的動物，於是許多現在已不常用的不規則動詞，如dwell（住；通常用live表之）的過去式dwelt就很少人會用，而dwelled也逐漸取得合法的地位。相信這樣發展下去，英文的不規則動詞會愈來愈少。

    中文數量詞的用法，常常和歸類有關。有腳動物歸成一類（人除外），以「隻」數之；長條形的東西以「條」數之等等。歸類自然得尋找共同的表徵，也就是尋求規律。當然，老祖宗在發展數量詞的過程中，歸類的工作沒做得非常科學。「顆」與「粒」怎麼區別？大體來說，粒指的是顆粒狀中較小者，顆則大小通用。粒可大到怎樣的程度？我們說一粒蘋果或一顆蘋果都可以，顯然粒至少可用到大如蘋果者。不過比蘋果稍小的心臟不能以粒來數（至少國語如此）。另一極端，在閩南語中，我們常說一粒西瓜，不說一顆西瓜，而用國語，則說一個西瓜，少說一顆西瓜。我相信應規律化之趨勢，數量詞會愈來愈簡化。......詳全文

｛本文摘自《從生活 學數學》｝

■ 活到老，動到老

科學新聞由SciScape提供

研究發現，仍然持續運動、保有較佳心肺適能的老人，大腦的海馬迴體積比較大，空間記憶能力保存得也比較好。

日常生活的健忘與失憶現象是正常老年人面臨的最大問題。部份的生理原因在於人類形成記憶主要的大腦區域，海馬迴（hippocampus），在年過50歲之後是以每年1-2% 體積的速度逐漸萎縮。

有氧運動（Aerobic exercise）似乎是減緩海馬迴萎縮的可能方法。利用齧齒類動物持續不斷跑滾輪的實驗室研究已經證實，體適能程度（fitness level）較高的老鼠在齒迴（dentate gyrus）和海馬迴等大腦區域的細胞數量、突觸連結與腦衍生神經滋養因子（BDNF），都比一般老鼠增加許多。而在另一方面，研究記憶的神經科學家在八０年代使用莫里斯水迷宮（Morris water maze）來測試齧齒類動物時，發現這些老鼠在水中泅泳一段時間後所建立的空間記憶能力與海馬迴功能息息相關，而且擁有空間記憶能力較佳的老鼠，牠們海馬迴的體積也相對較大。

究竟老人能不能藉由足量的有氧體適能運動來減緩海馬迴體積的萎縮，進而改善逐漸衰退的記憶能力呢？

美國伊利諾大學心理系Arthur Kramer博士的研究小組大規模地測試了一百六十五位59歲到81歲老年人的心肺體適能程度（cardiorespiratory fitness），接著請他們進行空間記憶能力的認知測驗，最後使用磁共振儀（MRI）掃瞄這些老人大腦的解剖影像。結果發現，那些平常持續運動、體適能程度較佳的老人在空間記憶能力測驗上的反應較快、錯誤率也比較低；更有趣的是，當研究人員利用磁共振影像檢視所有人的海馬迴時，發現體適能程度較佳的老人有較大的海馬迴，經過統計分析也證實體積較大的海馬迴和表現較佳的空間記憶能力確實有高度相關。

這項研究首次提供了來自人類大腦的直接觀察：有氧的體適能運動的確減緩了因為老化而造成的海馬迴萎縮，也間接保存了逐漸退化的空間記憶能力。而在這件有趣的觀察背後，同時也讓人驚喜地發現：即使我們無法抵抗生理機能逐漸老化的自然事實，但是只要給與適當的刺激和訓練，人類老化的大腦仍然可以繼續維持正常的機能，這是大腦可塑性（plasticity）的最好證明。

「活到老，學到老」，同時也要動到老！

原始論文

Erickson KI, et al. (2009). Aerobic fitness is associated with hippocampal volume in elderly humans. Hippocampus.

■ 比鑽石更硬

根據理論物理學家的計算，w-氮化硼的硬度有可能比鑽石更高，成為最堅硬的物質。

為什麼要尋找跟鑽石一樣堅硬的物質？因為鑽石的硬度在工業上有很大的用處，可以用來切割任何材料。但是鑽石太貴了，因此在實用上便受到很大的限制。因此科學家希望能夠用人工方法合成超硬的物質，以有效降低成本。

一般而言，物質的硬度表示物質受到外力時所產生的形變的程度。硬度越高越不易發生形變。最簡單測量硬度的方法是利用兩種物質相互刻畫，可以在對方畫上記號的便代表這個物質的硬度較高。

鑽石之所以堅硬，主要是因為他的碳原子組成了穩定而強壯的八面體晶格。不過在兩年前，鑽石首次遇上了對手。有一些含有氮化硼的化合物被發現硬度與鑽石相當，因此引起了物理學家對氮化硼的興趣。這次物理學家計算發現，如果氮化硼以纖鋅礦結構(Wurtzite structure)出現，稱為w-BN，而且純度夠高的話，w-BN將有可能比鑽石更硬。他們發現，對w-BN施加夠大的壓力後，可以大幅提高w-BN的硬度。

w-BN就算具有跟鑽石同等級的硬度，他還要能夠被證明具有容易製造，耐高溫，不易與其他物質反應等性質，才能在工業上取代鑽石的應用。讓我們拭目以待吧。

原始論文

Phys. Rev. Lett. 102, 055503 (2009) Harder than Diamond: Superior Indentation Strength of Wurtzite BN and Lonsdaleite

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