數學系列-《毛起來說e》、《毛起來說三角》
　

《毛起來說e》
　　說書人毛爾用數學家小傳、軼聞甚至虛擬對話，串連起ｅ的發展原委，帶領你從十六世紀開始，探索ｅ的驚奇。

《毛起來說三角》
透過這本書，你將目睹三角學如何從埃及金字塔裡萌芽、從古希臘乃至中世紀天文學家的手中茁壯，你也將認識許許多多偉大的數學家，跟隨他們的腳步，踏進有趣的三角殿堂，一探平面三角學背後的無窮樂趣。

《毛起來說無限》

　　一條線段或一個量可不可以一直分割下去，近代物理學家建造粒子加速器想尋找「基本粒子」，宇宙的邊界在哪裡，讓梵谷說出「我在凝視無窮」的法國原野……
不管是無窮小、無窮多或無限延伸，「無限、無窮」這個概念深深吸引了從古至今的思想家、藝術家、科學家。《毛起來說無限》是以數學家的觀點，講述有關無窮的故事，而你也會發現：原來數學是研究無窮的科學。

毛爾 ／  著 
      　　芝加哥羅耀拉大學（Loyola University）數學史教授，多年來於許多數學和數學教育期刊發表文章，包括《數學教師》（Mathematics Teacher）、《國際科技數學教育期刊》（International Journal for Mathematics Education in Science and Technology）等；此外還著有《毛起來說三角》（Trigonometric Delights，天下文化出版）和《To Infinity and Beyond》，均獲得極高的評價，並已譯成多國文字。

……《進來看看這本書》

 《毛起來說無限》前言

　　許多思想家想過無窮的問題。一線段或一個量是否可以一直分割下去，或者會得到不可分割的點或「原子」，這樣的問題讓古希臘的哲學家議論不休。現代的物理學家，承繼過去的香火，還在為同樣的問題奮鬥，用巨大的粒子加速器來尋找「基本粒子」（意思是，整個宇宙就是由這些基石建造起來的）。天文學家則從尺度的另一極端──無窮大，來思考無窮的問題。宇宙是無窮大嗎？無論誰觀看著清朗的星空，似乎都會這麼想。還是宇宙有邊界，過了邊界就什麼都沒了？有限宇宙的想法似乎有違直觀，如果我們固定一個方向一直走，難不成會碰到「邊界」？各位往後就會知道，要了解無窮，直觀是個不好的指引。

　　藝術家也處理過無窮，他們把這個概念畫在畫布上，或寫成文字，而成了文學瑰寶。梵谷凝視著眼前一望無際的法國原野，說出：「我在凝視無窮。」巴斯卡（Blaise Pascal）以慣有的陰鬱眼光看世界，嘆道：「無窮空間的永恆寂靜使我深感恐懼。」而另一位學者布魯諾（Giordano Bruno），欣喜於宇宙無窮的想法而說出他的名言：「打開門窗，你可以看到無盡的蒼天。」為了這句話，他被逮捕，受到宗教裁判而判了死刑。

　　但無論如何看待無窮，最後總要回到數學，因為在這裡無窮的觀念有其最深的根源。有一種觀點說，數學就是研究無窮的科學。日本數學會編纂的《數學百科辭典》中，「無窮」、「無窮大」、「無窮小」等詞在索引中就出現不下五十次之多。事實上，如果沒有無窮觀念，很難想像數學還會存在，因為小孩子學數學的第一步，數算1、2、3…，就是假定每個數之後都有下一個數。幾何中最基本的觀念直線，也一樣基於類似的假定──理論上我們可以把直線的兩端一直延伸出去。就連在機率理論，這類看似關於「有限」的數學領域之中，無窮的觀念竟也扮演微妙的角色：擲一個銅板十次，可能得到五個正面五個反面，也可能六個正面四個反面，或其他的可能，但當我們說「擲出正面與反面的機率各半」，其實已經暗自假設了無窮次的丟擲會得到一半一半的結果。

　　我第一次遇到無窮，是在我還是小孩子的時候。有人給了我一本《哈加達》（也就是出埃及的故事），它的封面圖中有個小孩，手中拿的就是這本書。當我再看得真切，發現小孩手中那本《哈加達》的封面上出現同樣的畫面。很有可能，那個小畫面中的書封上也有這個畫面──不怎麼記得了。但我清楚記得有個想法一直縈繞在腦中：假如真的畫得出來圖中的圖中的圖……，可以沒完沒了！這種可能性實在有趣；當時我還太小，不知道有一位荷蘭藝術家艾雪（M. C. Escher，那時還沒什麼名氣），也深受同樣的想法吸引，把它表現在畫作中，在他技巧所及的範圍，盡量把這種重複的過程帶到極限。

　　許多年之後，我另有一次機會碰到無窮，一種情境完全不同的邂逅。有一天晚上，我在華府的康乃狄克大道逛街，無意中站在一座矗立於人行道上的大型抽象雕像面前。一塊銅牌標示這件作品的大名：「無窮之極限III」。它由一個巨大的銅環及繫於銅環兩端點的一個螺旋狀物所組成。拉長了的螺旋狀物似乎可以旋轉，所以我輕輕碰它一下，心想它會轉動起來。想不到一個暗藏的警鈴大作，尖銳的響聲著實把我嚇得半死。驚魂甫定，內心自忖道：「汝不可觸摸無窮！」

　　無窮的概念，帶給世世代代的人許多興奮與驚訝之情，在往後的各章裡，我試著把這些故事拿來與讀者分享。某種程度來說，我的故事是主觀的──我以數學家的觀點來說這故事，因而意味著，我得面對想為門外漢寫一本科普書的任何一位科學家都會有的迷惘：如何用非專家可了解的語言，把作者的意思呈現出來，同時又不會讓他的學術同行說他不夠嚴謹。就數學而言，這種迷惘更為深刻。

　　這本書是要給一般讀者看的，所以在文字間我盡可能不用「高深」的數學。（當然，熟悉一些基本代數絕對沒壞處。）一些特別的數學題材已經搬到附錄裡了，讓一般的討論內容保持流暢。大體而言，各章之間只有鬆散的連結，所以跳過少數幾章不讀並不礙事。如果讀者只想隨興瀏覽，也可以享受有關無窮的許多插畫與圖片，以及許許多多的名言佳句和詩文。

　　寫書時許多朋友幫了忙，我要感謝他們。尤其該感謝同事Wilbur Hoppe及Robert Langer，他們讀了手稿的大部分，提出了許許多多的建議；感謝Blagoy Trenev，我不斷的打擾他，問他用詞與寫作風格的問題；感謝Hilde Bacharach及Raffaella Borasi，他們告訴我兩首描述無窮的美詩；感謝Ruth Ollendorff，讓我讀了她的亡夫許多未發表的文章，我也把這本書題獻給已過逝的Franz Ollendorff教授；感謝Mary Besser，她編輯大部分的手稿，對最後的定稿也幫了很多忙；感謝Lynn Metzker，大部分的線圖是她畫的；感謝威斯康辛大學Eau Claire分校及密西根州的奧克蘭大學，他們給我兩筆經費，大大支援了我的工作；最後要感謝Birkhäuser Boston出版社的編輯及製作群，經他們的特別努力，才使這本書得以出版。但更要特別感謝的是我的母親Luise Metzger，她長年下來給了我豐富的文化薰陶，還要感謝我的太太Dalia，有她的鼓勵與耐心，我才能在許多個夜晚把她冷落在家裡而留在辦公室裡寫書。要不是她們兩人的支持，這本書是不可能完成的。

　　 最後一句附筆。在進行任何討論之前，數學家一定要說清楚他所用的符號。請大家注意，我在本書裡用的「他」字，泛指「他或她」。如果你認為我的用詞比較傳統，那只是為了簡潔的目的。

　　　　　　　　　　　　　（摘自本書前言，更多內容請見《毛起來說無限》）

■　氯化鈉的化學式不只有NaCl！

科學新聞由SciScape提供

　　科學家發現，氯化鈉在高壓下有其他的穩定結構，如Na3Cl、Na2Cl、Na3Cl2、NaCl3和NaCl7，若根據過去所學的化學原理，這些結構是不可能存在的。

　　 根據化學八隅體規則（Octet rule）：週期表中第一與第二週期的元素，傾向得到或失去電子，使其擁有如惰性氣體穩定的電子組態。氯化鈉常作為典型的例子，鈉原子容易失去一個電子、而氯原子容易再得到一個電子，當兩者接觸後，因電荷的轉移形成電性相反的離子，彼此產生靜電力而互相吸引、結合成離子化合物。離子化合物通常是一堆離子群集，以規則的方式排列，每一個鈉離子被六個氯離子包圍，每一個氯離子也被六個鈉離子包圍，整體而言，就是一個鈉離子配一個氯離子，沒有其他的選擇。

　　中國農業大學應用物理系張葳葳博士與同事，首先計算在高壓狀態時，可能穩定存在的氯化鈉結構，再以實驗確認這些穩定態是否存在。他們發現，在所有的實驗壓力範圍內（從10GPa~80GPa），NaCl一直都是穩定的化合物，不會自然分解，若要產生新的結構，需要在加熱的情況下，添加過量的Na或Cl2才能達成。化合物Na3Cl、Na2Cl、Na3Cl2、NaCl3與NaCl7在理論上均為穩定的高壓化合物，而Na3Cl及NaCl3已在實驗室中被合成出來。這個研究發表在12月20日的Science 期刊上。

　　讓科學家勇於搜尋氯化鈉其他結構的動機，只是出於好奇。這個研究的第二作者，紐約州立大學歐肯諾夫（A. R Oganov）博士表示：「當化學課本說這種化合物不可能存在時，『不可能』究竟是什麼意思？」在一般狀況下的不可能，在特殊的情況下，或許就有機會變成可能了吧，因此，「『不可能』的意思，是能量還要再高一點才行。」

　　尋找高壓化合物有意義嗎？在高壓下，物質轉變為更緻密的結構，表示構成物質的原子間距縮短、進而改變原子間的鍵結方式，這些新的高壓產物，可能有其獨特的性質，是事前無法預料的。比如科學家發現在Na3Cl的結構中，純Na層，被夾在NaCl層中，NaCl層有絕緣的作用，純Na層可以導電，這就像是二維的導電材料一樣，未來有其發展的潛力。

　　另外，這也有助於理解我們腳下的世界。地球中心壓力可達360GPa，相當於有355萬個大氣壓，若簡單如氯化鈉的化合物，會因高壓而產生結構轉變，類似的轉變也可能發生在地球內部的物質。例如，已有其他研究說明，在地球地函底部厚約300km的D”層，可能是由矽酸鎂（MgSiO3）結構增密所造成的[註一]，是否還有未解的觀測現象，是來自其他物質高壓結構的轉變，也是值得探究的問題。

參考新聞：

1. SonyBrook Newsroom：SBU Team Discovers New Compounds that Challenge the Foundation of Chemistry

2. PHYS.ORG：Salty surprise: Ordinary table salt turns into ‘forbidden’ forms

參考資料：

1. J. I. Insa, Reformulating table salt under pressure, Science, 342, 1459-1460, 2013.

2. Zhang et al., Unexpected stable stoichiometries of sodium chlorides, Science, 342, 1502-1505, 2013.

註一：請參考廣?敬，〈地球深處的神秘礦物〉，《科學人》102期52-65頁，2010年。

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